В 2015 году учащиеся ЛНМО под руководством научных руководителей создавали более 20 исследований.
Лучшими из них, авторы которых одержали победу на крупнейших всероссийских научных конкурсах, стали:
Иван Богданов, 11 класс, выпуск 2015 года
Колчаны алгебр некоторых классов группх
Научный руководитель — Зайковский Анатолий Александрович, студент Математико-механического факультета СПбГУ, 4 курс, задачу поставил Сергей Олегович Иванов
Работа посвящена построению колчанов для Абелевых групп над алгебраически замкнутыми полями конечной характеристики для некоторых классов групп, а именно Абелевых p-групп, где p является характеристикой поля, и основным результатов стала теорема об описании колчанов этого класса групп.
Борис Золотов, 11 класс, выпуск 2015 года
О равномерных бесповторных морфизмах
Научный руководитель — Кублановский Станислав Исаакович, доктор физико-математических наук, Директор ООО «Северный Очаг»
Работа посвящена построению серий бесконечных слов без повторений. Теория бесповторных слов нашла отражение, например, в шахматах, показав существование бесконечной партии — что заставило изменить правила.
Результаты работы связаны, во-первых, с оптимизацией более ранних результатов касательно функций, порождающих слова без самоповторений; во-вторых, с введением дополнительной структуры, упрощающей анализ бесповторных слов; в третьих, с новыми сериями бесповторных слов и морфизмов; в-четвёртых, с созданием некоторых качественных теорем о связи бесповторных свойств.
Глеб Александрович Новиков, 10 класс
Гомотопические группы конечных пространств
Научный руководитель: Соснило Владимир Александрович, студент 4 курса СПбГУ Математико-механического факультета СПбГУ, сотрудник Лаборатории им. П.Л.Чебышева
В конце XIX века Анри Пуанкаре было введено понятие гомотопической группы топологического пространства, которая сегодня является важной характеристикой пространств. По сей день вычисление гомотопических групп различных пространств является трудной и в подавляющем большинстве случаев нерешенной задачей; в частности, для таких пространств, как сферы, не исследован вопрос об их гомотопических группах
В работе предлагается способ вычисления гомотопических групп различных конечных клеточных комплексов. Этот метод сводит задачу вычисления гомотопических групп, а также множеств гомотопических классов непрерывных отображений в целом к чисто комбинаторным задачам. Результат работы является аналогом известной теоремы Брауэра, но основную вычислительную роль здесь играют не сложно устроенные симплициальные множества, а конечные топологические пространства
Илья Голыгин, Илья Алексеев, 9 и 10 класс
Линейная алгебра матриц Адамара
Научный руководитель — Сергей Олегович Иванов, кандидат физико-математических наук, сотрудник Междисциплинарной лаборатории имени П.Л.Чебышева
Работа посвящена изучению матриц Адамара. Были исследованы некоторые их частные случаи с точки зрения линейной алгебры.
«Исследуя матрицы Адамара, мы развиваем телекоммуникацию, сотовую связь, технологии полётов на другие планеты, астрономию, в частности, рентгеновские телескопы и многое другое», — говорят авторы работы. Они уже конкретизировали действие важного класса матриц Адамара — матриц Сильвестра в N-мерных пространствах, доказав, что оператор, задаваемый матрицей Сильвестра, является композицией некоторой конкретной гомотетии и конкретной симметрии, а теперь собираются подробно исследовать матрицы Пэли
Данил Фиалковский, 11 класс.
Быстрый алгоритм вычисления коммутаторной длины в свободной группе
Научный руководитель: Иванов Сергей Олегович, Лаборатория им. П.Л.Чебышева СПбГУ, кандидат наук
Группы — это одно из центральных понятий современной алгебры. Изучение коммутаторной длины элементов в различных группах проводится в различных областях математики. В частности, сведения о коммутаторной длине элементов алгебраических групп применяются в алгебраической К-теории. Исследования в этой области велись такими учёными, как C.Edmunds, R. Golstein, E. Turner, M. Culler, L. Comerford, D. Calegari, В. Бардаковым и другими.
Общеизвестно,что любая группа может быть представлена как фактор группа свободной группы, а при гомоморфизме коммутаторная длина не увеличивается. Поэтому коммутаторная длина элементов свободной группы представляет особый интерес.
Мы предлагаем быстрый алгоритм для вычисления коммутаторной длины элемента из коммутанта свободной группы. Этот алгоритм опирается на уже существующий алгоритм Бардакова, который, в отличие от предложенного нами, не дает явного представления элемента в виде произведения коммутаторов. К тому же, наш алгоритм работает быстрее.
Также на основе моего алгоритма может быть написана программа, позволяющая считать коммутаторную длину элемента и получать явное представление в виде произведения коммутаторов быстрее и эффективнее, чем любая из существующих.
